学术干货 | 那些常见的高分子化合物分子量测定技术

高分子化合物的相对分子质量与高分子材料的性能有密切联系，因此选择合适分子量测定技术非常重要。根据统计方法不同，高分子化合物分子量有数均分子量、重均分子量、粘均分子量以及Z均分子量。不同的类型对应不同的方法，其中，粘度法和凝胶渗透色谱法（GPC法）两种方法操作简便，准确度高，目前是实验室最为常用的两种方法。

1.高分子化合物的分子量及分子量分散程度

通常，高分子化合物的分子量高达上万甚至几十万。正是由于很高的分子量，使得聚合物具有力学性能，这是低分子化合物所不具备的。

高分子化合物的分子量对其材料的力学强度有密切的联系。因此，分子量的测定对于高分子材料的应用尤为重要。图1为聚合物相对分子量与力学强度的关系曲线。从图中看出，当分子量较低时，聚合物不具备力学性能；当分子量达到一定程度时（图1中A点），聚合物才表现一定的力学强度，随后材料的力学强度随着分子量的增加迅速提高；当聚合物分子量足够大时（图1中B点），材料力学强度随着分子量的增加没有太大的变化。

图1 聚合物分子量与力学强度的关系曲线

为了表征高分子材料的分子量，一般而言，相对分子质量为统计平均值。根据统计方法不同，存在四种平均分子量。

1）数均分子量^[1]

式（1-1）

2）重均分子量

式（1-2）

3）粘均分子量

式（1-3）

4）Z均分子量

式（1-4）

聚合物的分子量具有多分散性，即同一种聚合物，内部存在分子量高低不同的部分，而这些都将对材料的力学强度造成很大影响。为了表征聚合物的多分散性，定义了多分散性系数d，它表示同一种聚合物，其重均分子量和数均分子量的比值^[2]，表达式如下：

式（1-5）

d值越大，表明分子量分布越宽，分子量大小越不均一；d值越小，则分子量分布越窄，分子量大小越集中；d=1，表明分子量单分散，几乎很难找到单分散的聚合物。

2.数均分子量测定

常见的方法有^[3.4]：端基滴定法、沸点升高法、冰点降低法、渗透压法。这些方法主要利用溶液的依数性，属于绝对方法。但由于以上方法操作局限性大，实验精度不够，可测试的分子量范围不广，基本上了解原理即可。

2.1 端基滴定

如果待测样品初步估计分子量不大，化学结构明确，且其末端具有能够通过化学方法进行定量分析的基团，那么可以通过分析一定重量的聚合物中端基数目来确定其分子量，如聚己内酰胺（尼龙6），其末端一端为氨基，一端为羧基。

但是随着线型聚合物结构单元数的增加，端基在分子链中的比例降低，使得实验误差增加，故该方法不适用于分子量较大的聚合物。另外，如果待测样品存在支链或者交联结构，也不适用于该方法。

2.2 沸点升高法、熔点降低法

该方法是利用溶液的依数性测定分子量的经典物理化学方法。所谓依数性，就是溶液的某些性质与溶液的浓度有关，与溶液的化学组成无关。在纯溶剂中加入少量的溶质形成稀溶液，其沸点和熔点会发生变化，相关公式如下：

式（2-1）

式（2-2）

式中，溶液浓度C的单位为g/kg溶剂，另外，溶剂的K值有如下定义：

式（2-3）

式（2-4）

式中，T_b和T_f分别表示溶剂的沸点和冰点，△H_v和△H_f分别表示每克溶剂的蒸发热和熔融热。

由于高分子溶液与理想溶液的行为偏差很大，必须要将溶液浓度外推至零，则以△T/C对C作图，并外推，得到：

式（2-5）

沸点升高或冰点降低法测得数均分子量，推导如下：

式（2-6）

2.3 渗透压

如果用半透膜将样品池分隔为两部分，一部分加入纯溶剂，另一部分加入浓度已知的聚合物稀溶液，控制起始液面等高度。由于纯溶剂与溶液的化学位不相等，溶剂分子能自由穿过半透膜，而聚合物分子无法穿过半透膜，导致两边液面出现高度差，当溶剂分子穿越速率与两侧静压力差达成动态平衡后，两侧液面高度差将保持不变，而此时，液面的高度差与溶液的渗透压成正比。图2表示渗透压的原理示意图，其中P₀为大气压，Π表示渗透压。

图2 渗透压法原理示意图

如果是小分子稀溶液，则根据Van’t Hoff方程，渗透压和溶质分子量可表示为：

式（2-7）

但是，前文提到过，由于高分子溶液无论再稀，都不能满足Rault定律，因此，需要对式（2-7）进行修正，得到：

式（2-8）

式中，A₂和A₃表示第二和第三维利系数，第二维利系数根据Flory-Huggins溶液理可表示为：

式（2-9）

A₂可以看作高分子链段与溶剂的相互作用的参数，当A₂=0时，高分子稀溶液的行为与理想溶液行为无偏差，可以将高分子稀溶液看成理想溶液，将式（2-8）简化为式（2-7）。于是，定义该状态为θ状态，对应的温度为θ温度，所用的溶剂为θ溶剂。需要强调的是，此时高分子稀溶液仍然不是理想溶液，只是其过量化学位等于零。

有些教材提到过第三维利系数不为零的问题，对实验结果造成误差，为了消除误差，可利用下式展开：

式（2-10）

式（2-11）

将式（2-11）外推至无限稀的情况，得到：

式（2-12）

利用渗透压法得到的分子量也是数均分子量，推导如下：

式（2-13）

式（2-14）

3.重均分子量的测定

主要有光散射法、小角激光光散射法、超速离心沉降法等，但超速离心沉降法操作过程复杂，逐渐有被光散射法以及GPC法代替的趋势。其中，光散射法是较为经典的测试方法，属于绝对方法，本文仅对光散射法展开详细说明。

3.1 光散射法

该方法基于聚合物溶液光学性能的不均匀性^[5.6]，通过测定聚合物溶液中光散射现象，建立聚合物溶液浓度与相对分子质量之间的关系。

基本原理如图3所示，当入射光通过某种介质时，部分光线不改变光路，而部分光线的传播方向发生散射或折射。散射光方向与入射光方向夹角为θ，成为散射角。而发生散射光的质点称为散射中心，散射中心与观察点的距离为观察距离r。散射光的强度与散射质点发出的散射光是否相互干渉有关。

图3 光散射法原理示意图

关于光的散射相关理论非常复杂，即便是较为权威的高校教材也只作简单介绍。一般而言，具体公式的使用，需要就聚合物溶液散射中心（单个大分子）的尺寸大小，进行分类讨论。

3.1.1 小粒子散射中心（大分子尺寸小于入射光波长1/20）

假定入射光为垂直偏振光，则散射光强与散射角大小无关。散射光强I和入射光强I₀存在如下关系：

式（3-1）

式中，λ为入射光在真空中的波长，n为溶剂折光指数，∂n/∂C为溶液的折光指数增量，N_A为Avogadro常数，A₂为第二维利系数。

然后，引入瑞利因子，定义如下：

式（3-2）

将式（3-1）和式（3-2）联立，得到：

式（3-3）

如果溶质、溶剂、光源的波长以及测定温度已知，则引入光学常数K，定义如下：

式（3-4）

K值可预先测定，于是式（3-3）可写为：

式（3-5）

以上公式使用的前提是入射光为垂直于测量平面的偏振光，如果入射光为自然光，则需要考虑散射光强与散射角的关系，式（3-5）可修正为：

式（3-6）

通常将散射角θ固定为90度，那样受到的干扰最小，那样， 式（3-6）可简化为：

式（3-7）

在实验过程中，改变溶液浓度，得到一系列R₉₀值，并以KC/2R₉₀对C作图，得到一条斜率为2A₂，截距为1/M的直线。如果外推至浓度为无限稀的情况，则有：

式（3-8）

利用光散射法得到的是聚合物的重均分子量，推导如下：

式（3-9）

3.1.2 大粒子散射中心（大分子尺寸大于入射光波长1/20）

其原理类似，只是需要考虑散射光的内干涉效应，对式（3-6）引入散射因子P（θ），修正如下：

式（3-10）

式（3-11）

如果高分子溶质是无规线团，则有：

式（3-12）

如果利用展开式，略去高次项，则有：

式（3-13）

实际实验中，为了消除散射角造成的影响，需要进行修正，最终结果如下：

式（3-14）

3.1.3 Zimm图

实验方法是通过配制一系列浓度不同的溶液，求出R_θ，为了方便处理数据，将式（3-14）进行简化，过程如下：

式（3-15）

式 （3-16）

式（3-16）中，存在C和θ两个变量，如果两者分别外推至零，则有：

式（3-17）

式（3-18）

为了作图方便，引入Zimm作图法。其纵坐标为Y，横坐标为sin²（θ/2）+qC，其中，q为任意常数，取值不影响实验结果。图4为PDDA氯化钾溶液的光散射Zimm图^[7]，绿线代表θ外推至零得到的图线，用式（3-17）；红线代表C外推至零的图线，用式（3-18），代入实验数据即可得到相对分子质量。该实验使用了垂直偏振光作为入射光，故不需要考虑散射角的影响。

图4 PDDA（M_w=244000）氯化钾溶液的光散射Zimm图

利用Zimm图，除了得到重均分子量，还能得到第二维利系数和均方末端距，后两者参数与分子量关系不大，不作展开。

4.粘均分子量的测定

特性粘度法^[1-6]是最为重要的方法之一，是一种相对方法。高分子的粘性来自于分子间相互作用力，这是高分子化合物区别于低分子化合物的重要特征，粘性的大小和分子量有关。Mark-Houwink公式归纳了特性粘数和分子量之间的关系，尽管是经验公式，实验室测定分子量离不开该公式。特性黏度法用于稀溶液，得到粘均分子量。

测定粘均分子量不需要很精密的仪器，常用乌氏粘度计测定，操作简便，实验精度高，可以定期大量满足实验室的测定需求。图5为乌氏粘度计示意图。

图5 乌氏粘度计示意图

4.1 相关公式

溶剂粘度η₀的单位为Pa·s。η为聚合物溶液的粘度。

相对黏度η_r

式（4-1）

增比粘度η_sp

式（4-2）

比浓粘度

式（4-3）

对数粘数

式（4-4）

特性粘数[η]

式（4-5）

4.2 Mark-Houwink方程

两个人得到分子量和特性粘数的经验关系式：

式（4-6）

其中，K和a是一定温度下特定的聚合物-溶剂常数。关于常数值的订定，需要经过绝对方法进行合理外推，如今，两个常数可以通过查表得到。

将式（4-5）与式（4-6）联立，并外推，得到：

式（4-7）

关于粘均分子量的推导如下：

式（4-8）

式（4-9）

4.3 实验过程

4.3.1 粘度测量

式（4-10）

式（4-10）为泊肃叶公式，根据图5的示意图，乌氏粘度计内部有一根内径为R，长度为l的毛细管，ab刻度线之间是体积为V的小球，P为小球内液体的自重，以上都是常数。用洗耳球将液体吸至刻度线a以上，记录液面从a到b的时间t，得到下式：

式（4-11）

式（4-12）

其中，t₀为溶剂流出时间，t为各种浓度溶液流出时间。

4.3.2 动能矫正

如果仪器设计不周，或者溶液流速过大，则需要进行动能校正。

式（4-13）

式（4-14）

式（4-15）

式中，A、B为常数，可以通过计算得到，由于溶液很稀，所以溶液密度和溶剂密度近似相等。为了简化数据处理过程，通常设计仪器时尽可能降低B值，计算时能够忽略，最终处理成和式（4-11）式（4-12）相等的形式。

4.4 数据处理

4.4.1 稀释法

实验过程通过测量一系列浓度不同的稀溶液的粘度，以lnη_r/C对C和η_sp/C对C作图并外推至浓度为零的情况，如图6所示^[8]，两条直线交于一点，其截距为[η]，查阅数据，得到K和a的值，即可得到粘均分子量。

图6 PBA稀溶液η_sp/C（上）和lnη_r/C（下）

4.4.2 一点法

由于稀释法需要进行多次实验，过程繁琐，因此可以使用以下经验公式简化实验过程。

式（4-16）

式（4-17）

式（4-16）为Huggins方程式，式（4-17）为Kraemer方程式。对于柔性聚合物良溶剂体系，k=1/3，β+k=1/2。如果满足这两个关系式，则有：

式（4-18）

如果不能满足条件，则有：

式（4-19）

式中，γ=k/β。
式（4-18）和式（4-19）虽然使用条件不同，但都属于一点法，用于简化实验操作。关于一点法的使用，一定要满足使用前提，否则会造成实验结果很大的误差。

5.凝胶渗透色谱法

这是自上世纪60年代以来发展的现代技术^[9]，凝胶渗透色谱法简称GPC法，它除了具备特性粘度法的优点，同样为相对方法，快速简便，可重复性高，它能同时测定多种统计平均分子量，还能得出测试样品的分散程度。

5.1 分离原理

凝胶渗透色谱的分离过程利用体积排除效应，以装有凝胶颗粒的色谱柱为设备，凝胶颗粒事先经溶剂充分溶胀，并且凝胶内部存在网眼。将待测试样溶于溶剂中，加入色谱柱进行淋洗，其中，体积小的分子能够进入凝胶内部自由扩散，而体积大的分子则不能顺利进入凝胶内部，于是被排除在外。根据这一原理，可根据分子体积大小差异对样品进行分离。因此，大分子最先被淋洗出来，体积较小的分子随后被排除，图7为分离原理示意图。这样，根据淋洗时间和淋洗溶剂的体积，可推算出聚合物相对分子质量的大小，除此之外，还能得出分子量分散程度的关系。

图7 GPC分离原理示意图

5.2 柱参数

柱内凝胶颗粒事先经过溶剂充分溶胀，然后用溶剂填满柱内空间，此时，就有如下关系式：

式（5-1）

式中，V_t为凝胶色谱柱内总体积；V₀为柱内凝胶外部溶剂（流动相）的体积；V_i为柱内渗入凝胶颗粒的溶剂（固定相）的体积；V_g为柱内凝胶颗粒骨架的体积。V_t，V₀，V_i，V_g均为柱参数。

定义V_e为溶质分子的淋出体积，K成为分配系数，表示体积为V_i的孔洞中，溶质可以渗入的部分与V_i的比值，定义式如下：

式（5-2）

式（5-3）

如果高分子尺寸很大，任何一个孔洞都无法进入，那么它直接被排除，V_e=V₀，K=0；如果分子尺寸很小，能够渗入任何一个孔洞，则V_e=V₀+V_i，K=1；如果分子尺寸中等大小，则介于两者之间。

5.3 普适校正原理

GPC分离实验预先需要作出待测试样的校正曲线，以分散程度为1的样品作为标样。经过阴离子聚合得到的聚苯乙烯分散程度接近1，可近似看作单分散样品，作为标样使用。但是，聚苯乙烯只是一个特例，其校正曲线并不能适用于所有的聚合物样品。

为了能推广，必须找到一个参数，通过该参数，可以适用于所有聚合物分子质量，该参数即为普适标定参数，利用该参数得到的校正曲线即为普适标定曲线。研究表明，聚合物流体力学体积可以作为普适标定参数。相关公式如下：

根据Einstein粘度公式：

式（5-4）

式中，V_h为溶质分子流体力学体积，[η]M与V_h成正比，因此[η]M可以作为理想的普适标定参数。如果用lg[η]M对V_e作图，将得到一条曲线，而且任意聚合物的标定曲线都能重合，推导如下：

假定聚合物A和B具有相同的淋出体积，则有：

式（5-5）

根据Mark-Houwink公式，改写上式：

式（5-6）

如果K_A、K_B、a_A、a_B已知，且a_A=a_B，则有：

式（5-7）

定义位移因子：

式（5-8）

上式表明，虽然分子量标定曲线不重合，但是相互平行，只要用位移因子就能从一种分子量换算成另一种分子量。

5.4 数据处理

如今市售的GPC仪器能够通过软件进行校准和数据处理，为了能说明问题，图8表示校准过程^[10]，用于选择合适的流动相。图9为对应的GPC图线^[10]，软件最后能分析出多种类型的分子量以及分散程度。以上案例仅做参考，具体操作需要以实验室设备型号为主。

图8 以含0.05mol/L KNO₃的DMF作为流动相时纯PAN聚合物的谱图

图9 不同浓度样品对应的GPC谱图

6.结语

表征高分子化合物分子量的方法众多，目前最主要的方法有粘度法和GPC法。随着实验要求的提高，有些实验室选择多种现代检测手段联用，在不久的将来也许能衍生出新的检测技术。

本文公式较多，为了避免混乱，公式整理自参考文献1。

参考文献
[1]何曼君, 陈维孝, 董西侠. 高分子物理-修订版[M]. 复旦大学出版社, 1990.
[2]魏无际. 高分子化学与物理基础[M]. 化学工业出版社, 2011.
[3]方征平, 宋义虎, 沈烈. 高分子物理[M]. 浙江大学出版社, 2005.
[4]王槐三. 高分子物理教程[M]. 科学出版社, 2013.
[5]李谷, 符若文. 高分子物理实验[M]. 化学工业出版社, 2015.
[6]迈克尔・鲁宾斯坦, 拉尔夫・H.科尔比, MichaelRubinstein,等. 高分子物理[M]. 化学工业出版社, 2007.
[7]Rivas B L, Pereira E D, Horta A, et al. Macromolecular size of polyelectrolytes containing ammonium and sulfonic acid groups, as determined by light scattering[J]. European Polymer Journal, 2004, 40(1):203-209.
[8]Zeng Z, Sun L, Xue W, et al. Relationship of intrinsic viscosity to molecular weight for poly (1, 4-butylene adipate)[J]. Polymer Testing, 2010, 29(1):66-71.
[9]田威, 孔杰, 胡思海. 高聚物的现代研究方法[M]. 西北工业大学出版社, 2014.
[10]韩风. 凝胶色谱法测定聚丙烯腈聚合物的相对分子质量及其分布[J]. 合成纤维, 2015, 44(12):37-41.

本文由材料人编辑部学术干货组黄道囡囡供稿，欧洲足球赛事 编辑整理。

材料人网专注于跟踪材料领域滚球体育 及行业进展，这里汇集了各大高校硕博生、一线科研人员以及行业从业者，如果您对于跟踪材料领域滚球体育 进展，解读高水平文章或是评述行业有兴趣，点我加入编辑部。
材料人网向各大团队诚心约稿，课题组最新成果、方向总结、团队访谈、实验技能等皆可投稿，优秀稿件一经录用，我们会奉上稿酬，请联系：邮箱tougao@cailiaoren.com 或 QQ：97482208。

仪器设备、试剂耗材、材料测试、数据分析，找材料人、上测试谷！